問題：
生成一個數據立方體，該立方體的每一個結點都是一個整體度量的聚合函數（如 COUNT( DISTINCT ) )，如何使用 MapReduce 生成該數據立方體？
解法：
（1）生成該立方體的所有結點 Ri ，表示為數據立方體集合 C = {R1, R2, R3, ...}。
（2）度量（聚集函數）分為代數度量和整體度量，代數度量是可任意分布化的度量，整體度量是無法分布化的度量。本文認為，很多整體度量具有部分代數度量的性質。
即對於 a 列， M(D) = M'[A(D)]，D是一個數據集合，M是整體度量，M'是一個代數度量，A是另一個整體度量。滿足這樣性質的就稱為對 a 具有部分代數性質。
如 COUNT_DISTINCT(a)。其中 M=COUNT_DISTINCT(a)，M'=COUNT()，A=GROUP_BY(a)
因此，對於整體度量來說，就是按值進行分區，即按“分區因子”進行分發。
（3）在處理每個立方體結點時（SELECT agg() FROM data GROUP BY a WHERE ...），按值分區采取一道取樣估算的MapReduce作業，估算按 a 分發到 reduce 端的數據量，r 為一個 reduce 所處理的數據占總數據的百分比，取樣的數量 N > 100 / r，通常取 2000 / r。如果當前結點的數據量大於 0.75rN（一個 reducer 所能容納數據的 75%），我們就把這個結點Ri標記為 “reduce不友好”。同時“reduce不友好”的結點會有一個分區因子，值為 s / rN。
至此，立方體結點的集合 C 被改寫為帶標注的立方體結點的集合 Ca = {R1a, R2a, R3a, ...}，Ria 是帶有分區因子的結點。
（4）已經獲得了具有標注的立方體，我們把 Ca 中的結點劃分為若干個“批處理區域” Bia, 每一個批處理區域包含若干個結點 Ca = {B1a, B2a, B3a, ...}。
“批處理區域”的約束條件為：
1、一個父結點“reduce友好”的結點，必須屬於一個包含它的至少一個父結點的“批處理區域”；
2、沒有兩個父結點“reduce不友好”的結點能夠屬於同一個“批處理區域”；
3、任意兩個“批處理區域”的差不能多於2。
有兩種“批處理區域”劃分算法：
1、貪心算法：即將晶格最底下的（粒度最大的）結點作為初始“批處理區域”，找出符合約束條件的結點數最少的情況，作為一個“批處理區域”。
2、枚舉算法：通過定義 cost（產生終間數據量）徹底枚舉 cost 最小的情況作為一個“批處理區域”，注意這種情況只適用於結點較少的情況。
（5）執行真正的 MapReduce 立方體生成算法。
Map：輸入為每個元組，輸出的 Key 為 每個“批處理區域”的最底層結點和“分區因子”，Value為元組本身。每條元組輸出 | {B1a, B2a, B3a, ...}| 次。
Shuffle：“批處理區域”相同且“分區因子”相同的元組被分發到同一個 reduce，每個 reduce 獲得可構成一個小立方體的元組集，若干個 reduce 構成一個“批處理區域”。
Reduce：在 reduce 端對這個小立方體進行自底向上的立方體生成（BUC），這裡所采用的度量是 A 。所以，每一個 reduce 會在 HDFS 物化一個小立方體。
Post：將 reduce 輸出的數據，按相同的批處理區域進行聚合，這裡所采用的度量是 M'，合並成一系列的中號立方體。
（6）將中號立方體進行聚合，生成整體大立方體，寫入到數據庫，用作報表分析。
該解法有如下問題：
1、C = {R1, R2, R3, ...} 如何生成？
2、Ca = {B1a, B2a, B3a, ...} 在數據量較大的情況下如何生成？
3、Map 端產生的數據依然是元始數據的數倍。|{B1a, B2a, B3a, ...}| 倍。
4、Post 處理的數據量大時如何處理？
5、結果寫入數據庫如何查詢？
