浮點加減法的運算步驟

浮點數經常被寫成如下的形式：
　　　　　　　　X　=　M_x * 2^Ex

　　其中Mx為該浮點數的尾數,一般為絕對值小於1的規格化的二進制小數,機器中多用原碼（或補碼）形式表示。Ex為該浮點數的階碼,一般為二進制整數,機器中多用移碼（或補碼）表示，給出的是一個指數的冪，而該指數的底常用2、8或16,我們這裡先以2為底作例子進行討論。

　　浮點加減法的運算步驟
　　假定有兩個浮點數
　　　　　X　=　M_x * 2^Ex ， Y　=　My * 2^Ey

　　1. 實現X±Y運算,要用如下五步完成:
　　(1) 對階操作,即比較兩個浮點數的階碼值的大小.求△E=Ex-Ey。當其不等於零時,首先應使兩個數取相同的階碼值。其實現方法是,將原來階碼小的數的尾數右移|△E|位,其階碼值加上|△E|,即每右移一次尾數要使階碼加1,則該浮點數的值不變(但精度變差了)。尾數右移時,對原碼形式的尾數,符號位不參加移位,尾數高位補0;對補碼形式的尾數,符號位要參加右移並使自己保持不變。為減少誤差,可用
　　另外的線路,保留右移過程中丟掉的一到幾位的高位值,供以後捨入操作使用。

　　(2) 實現尾數的加(減)運算,對兩個完成對階後的浮點數執行求和(差)操作。

　　(3) 規格化處理,若得到的結果不滿足規格化規則,就必須把它變成規格化的數,對雙符號位的補碼尾數來說,就必須是001××…×或
　
　　110××…×的形式。這裡的規格化處理規則是:
　　.當結果尾數的兩個符號位的值不同時,表明尾數運算結果溢出。此時應使結果尾數右移一位,並使階碼的值加1,這被稱為向右規格化,簡稱右規。

　　.當尾數的運算結果不溢出,但最高數值位與符號位同值,表明不滿足規格化規則,此時應重復地使尾數左移、階減減1,直到出現在最高數值位上的值與符號位的值不同為止,這是向左規格化的操作,簡稱左規。

　　(4) 捨入操作。在執行對階或右規操作時,會使尾數低位上的一位或多位的數值被移掉,使數值的精度受到影響,可以把移掉的幾個高位的值保存起來供捨入使用。捨入的總的原則是要有捨有入,而且盡量使捨和入的機會均等,以防止誤差積累。常用的辦法有"0"捨"1"入法,即移掉的最高位為1時 則在尾數末位加1;為0時則捨去移掉的數值。該方案的最大誤差為2-（n+1）。這樣做可能又使尾數溢出,此時就要再做一次右規。另一種方法 "置1"法,即右移時,丟掉移出的原低位上的值,並把結果的最低位置成1。該方案同樣有使結果尾數變大或變小兩種可能。即捨入前尾數最低位已為0,使其變1,對正數而言,其值變大,等於最低位入了個1。若尾數最低位已為1,則再對其置1無實際效用,等於捨掉了丟失的尾數低位值。

　　(5) 判結果的正確性,即檢查階碼是否溢出。浮點數的溢出是以其階碼溢出表現出來的。在加減運算真正結束前,要檢查是否產生了溢出,若階碼正常，加(減)運算正常結束；若階碼下溢,要置運算結果為浮點形式的機器零,若上溢,則置溢出標志。

　　看一個浮點數加法運算的實例。
　　假定 X=2⁰¹⁰ * 0.11011011, Y=2¹⁰⁰ * (-0.10101100)則它們的浮點表示分別為
　　　　　　　　　階符 　階碼 　數符 　尾數
　　　　　[X]_浮 = 00 　　010 　　00 　11011011
　　　　　[Y]_浮 = 00 　　100 　　11 　01010100
　　　　　　　　　　 補碼 　　　　　補碼

　　執行X+Y的過程如下:
　　（1）求階差和對階
　　　△ E = Ex-Ey = [Ex]_浮 +[-Ey]_浮 = 00 010 + 11 100 = 11 110即△E 為-2,
X的階碼小,應使Mx右移兩位,Ex加2, 得[X]_浮 = 00 100 00 00110110 11

　　（2）尾數求和
　　　　　00 00110110
　　　　+ 11 01010100
　　　　
　　　　　11 10001010

　　（3）規格化處理
　　結果的符號位與最高數值位同值,應執行左規處理,結果為11 00010101 10, 階碼為00 011。

　　（4）捨入處理
　　采用0捨1入法處理,則有
　　　　　11 00010101
　　　　+ 　　　　　1
　　　　
　　　　　11 00010110

　　（5）判溢出
　　階碼符號位為00.不溢出,故得最終結果為 X+Y = 2⁰¹¹ *(-0.11101010)