在理解直方圖均衡化的過程中，參考了一些書籍和博客，讓人困惑的是，筆者對於直方圖的理解還是停留在表面，並沒有深入理解其內涵。因此，本文擬結合圖片對直方圖的概念進行闡述，並給出其Python實現，最後對她背後所蘊含的一些科學思維，談談自己的一些看法。
什麼是直方圖？
對於一副灰度圖像I，她的每一個像素點I(x,y)都有一個灰度值，一般情況下可能的灰度取值有2^8=256個（0，1，...，255）。如果我們統計出灰度值r在I中出現的次數n，並對其進行歸一化（n/N，N是所有灰度值出現次數的總和），這樣我們就可以得到像素r在I中出現的概率p(r)。如果對每一個可能的灰度取值r都做同樣的處理，我們可以得到如圖1左側所示的概率分布曲線，該曲線就是我們常說的直方圖。
圖1 直方圖均衡化目標
什麼是直方圖均衡化？
通常情況下一副圖像I的直方圖如圖1左側所示，每一個灰度值r出現的概率不是相等的，這樣會導致圖像的一些細節信息不夠突出，而直方圖均衡化就是對灰度值r進行如下變換s=T(r)，使得變換後的灰度分布如圖1右側所示（也就是說，每一個灰度值出現的概率是想同的），這樣能夠發現一些原先肉眼很難發現的細節，如圖2所示（讀者可以自己體會下）。說到這裡，一般也就結束了，但是我們真的理解了嗎？如何更好的理解呢？下面簡要介紹一下筆者的理解方式。
假設我們有四個灰度級a,b,c,d，做個類比的話可以將她們理解為四個描述情感的詞喜、怒、哀、樂。一般情況下我們得到的直方圖可認為是p(a)=0.5,p(b)=0.5,p(c)=0,p(d)=0，而均衡化後的直方圖是p(a)=0.25,p(b)=0.25,p(c)=0.25,p(d)=0.25. 如果我們以均衡化前的詞描述人的情感則只有喜、怒，而均衡化後的詞則有喜、怒、哀、樂。試問，哪種情形能夠描述人更細微的情感變化呢？這也是筆者認為直方圖均衡化之後能夠描述更多圖像細節的原因。
更進一步，如果一般情況下我們得到的直方圖是p(a)=0.4,p(b)=0.4,p(c)=0.1,p(d)=0.1，那這按我們的理解意味什麼呢？意味著大部分情況用喜、怒描述人的情感，而哀、樂幾乎不用，當然了，如果能夠自由運用喜、怒、哀、樂來描述人的情感是最好的哦。
圖2 直方圖均衡化示意圖（左圖變換前，右圖變換後）
直方圖均衡化的數學原理
筆者曾經是個數學控，總是認為凡事都應該從數學的基本原理出發，然而運用數學推理得出我們期望的結論。然而此刻，覺得自己的想法從根本上是錯誤的。下面以直方圖均衡化數學原理為例進行說明。
我們直方圖均衡化的目標如圖1所示，那麼怎麼做到呢？這中間的約束條件又是什麼呢（世上沒有絕對的自由）？
可以設r原始圖像灰度級，s均衡化後圖像灰度級，不失一般性可以假設r的取值范圍為[0，1]。那麼什麼是必須滿足的約束條件呢？均衡化前後灰度級的意義不能變，也就是說變換前灰度級的含義是由黑到白，那麼變換後也應該如此。此外，最好變換前後灰度級的取值范圍一致。為使變換後的灰度仍保持從黑到白的單一變化順序，且變換范圍與原先一致，以避免整體變亮或變暗。必須規定：
（1）變換函數T(r)在r屬於[0，1]范圍內是單值、單調增函數；
（2）對於r屬於[0，1]，s=T(r)也屬於[0，1]
圖3 直方圖均衡化原理示意圖
這兩條規定是滿足我們均衡化要求的數學化描述（如果要應用數學的話，就應該將我們要求、目標等轉化為數學語言進行描述）。
直方圖均衡就是通過灰度變換函數s=T(r)將原圖像直方圖p (r)改變為均勻分布的直方圖p(s)。由圖3可知，在滿足兩條規定的前提下，因為s=T(r)（也就是說，r確定，s確定）,結合概率論可知p (r)dr=p(s)ds。又因為直方圖均衡化後，有：p(s) = 1, s屬於[0，1]，因此，ds=p(r)dr。兩邊取積分有。
這樣我們就找到了s、r之間的映射關系。
直方圖均衡化Python實現
由s、r之間的映射關系
可知，對於一副輸入灰度圖像I，我們首先計算其p(r)，然後計算每一個灰度級r對應的。
def histeq(img,nbr_bins=256):
""" Histogram equalization of a grayscale image. """
# 獲取直方圖p(r)
imhist, bins = histogram(img.flatten(), nbr_bins, normed = True)
# 獲取T(r)
cdf = imhist.cumsum() # cumulative distribution function
cdf = 255 * cdf /cdf[-1]
# 獲取s，並用s替換原始圖像對應的灰度值
result = interp(img.flatten(),bins[:-1],cdf)
return result.reshape(img.shape),cdf
一些思考
筆者以前有這樣一種誤解：以為所有的理論都可以從基本的數學原理推導得出，於是在碰到新問題的時候，總是試圖搞清楚各個數學公式的來源及其物理含義，而忽略了這些數學運作背後的目的是什麼！這樣的一個缺點就是，今天能夠理解的理論，過了幾天就不理解了。
現在筆者的一些體會是，如果按照以下思路理解問題，能夠起到事半功倍的效果（有點誇張的成分在裡面）：首先搞清楚問題的來源、其次知曉解決問題的目的是什麼、然後將問題數學化描述（時刻注意約束條件）、最後求解該數學問題。
總結：通常情況下，如果我們能夠將前三個步驟走完，最後的求解問題通過借助於現有軟件、算法，應該是水到渠成的事。（本人非數學專業，對怎麼求解一個數學問題，通常只關心輸入、輸出、以及約束條件）
